今さら聞けないRichardson-Lucy入門

デコンボリューションがとても魅力的だ。これを使えばレンズの収差やボケ、手ブレによる画像劣化が除去できるという夢の技術だ。

いろんな論文を読むとかならずといっていいほど以下の2つの手法が挙げられている。

1.Wiener Filter

Wikipediaに導出方法が載っている。

2.Richardson-Lucy Deconvolution

こちらもWikipediaに載っている。Wikipediaを読んでもわからなかったので、勉強した内容を少し解説してみる。

わかりやすいように1次元で話を進める。

をピクセルiの真の値(全くボケていないときの値)

をピクセルiで観測された値

とする。全くボケていないときはこの2つが一致する。でも今回はPSF(Point Spread Function)によってボケる。ボケがあるとピクセルjへ行く光は広がりをもってしまうので、ピクセルiへ少しおすそ分けしてしまう。
本来jへいくはずの光のボケでのih量を

とする。Richardson-Lucyではこのp(i,j)は既知だとするイメージは下の図。

ここでZ(i,j)なるものを導入する。Z(i,j)は期待値がP(i,j)λjのポアッソン分布に従いう確率変数。

これはピクセルiに届く光が確率的に変化し、期待値はp(i, j)λjということを意味する。

Wikipekiaにこの量は出てこないけど、元論文などを読むと出てくる。
もともとデコンボリューションはCTとかで研究されていて、CTは原子の崩壊(ガンマ線?)を捉えるので、観測される値が確率的になる、という経緯がある。
(一様な確率で起こる事象がある期間で観測される回数はポアッソン分布になる。詳しくはWikipediaをみてください。)

さて、点が1点だけなら復元も簡単かもしれんけど、周りの点の広がりが重なって観測されるので問題が難しくなる。例えば下の図のように重なるのでピクセルiで値は, 周辺のピクセルからの寄与を足しあわせたのものになる。

ここでzは確率的な値なので、観測結果と期待値から予測することで話を前に進めよう。
ピクセルiで観測された値をつかうと、その内ピクセルjからきた値は、割合で考えると下のような式になる。右辺の分母がiへくる光の総和で、分子がその内jからきたものを表す。

zはもともとjにあったものが周辺のピクセルiに散らばったものとかんがえることができるので、集めてやると真の値λjが分かる。真のzはわからないので推定値を使うとλを推定できてる。

この式にさっきのzの推定値を代入すると

このλjは真の値なので、知り得ない。そこで前回推定した値を使って逐次的に求めることにすれば

というふうになる。

実際に実装するときはWikipediaのようにコンボリューションの関数を使って書いたほうが楽だった。


(2014/11/15　式間違ってましたので修正しました。前に書いてたやつではPSFが対称じゃないとうまくいかなかったorz)

参考
https://en.wikipedia.org/wiki/Richardson%E2%80%93Lucy_deconvolution
http://people.csail.mit.edu/dgreensp/may/deconvlucy.html